Résultant

Exercice 1. Fenêtre de Viviani.

La fenêtre de Viviani est l’intersection de la sphère d’équation \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) et du cylindre d’équation \(x^2 - x + y^2 = 0\).

  1. Donner les caractéristiques géométriques du cylindre d’équation \(x^2 - x + y^2 = 0\).

  2. Faire des dessins avec sage.

  3. En procédant par élimination de variables avec sage et pour chaque plan de coordoonées, déterminer une équation vérifiée par la projection de la fenêtre de Viviani sur ce plan. Dessiner les courbes associées. Identifier la courbe obtenue lorsque c’est possible.

Exercice 2.

Soit \(f(x, y, z) = x^2 - y^2 + z - 1\). À l’aide du résultant, résoudre le système \(f(x, y, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y) = 0\). Vérifier les résultat à l’aide de solve.

N’hésitez pas à travailler dans le corps des nombres algébriques QQbar.

N’oubliez pas que le problème est très symétrique.

Exercice 3. Paramétrage du cercle unité.

  1. On se propose de retrouver la paramétrisation classique du cercle unité privé de \((-1,0)\).

    1. Donner une équation implicite de la droite de pente \(t\) passant par le point \((-1,0)\).

    2. Expliquer pourquoi \((x,y)\) est un point du cercle unité si et seulement s’il existe \(t\in\mathbb R\) tel que \((x,y,t)\) soit solution du système

    \[\begin{split}\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 - 1 = 0\\ y - t(x+1) = 0. \end{array}\right.\end{split}\]
    1. À l’aide du résultant, retrouver une paramétrisation rationnelle du cercle.

  2. Un triplet pythagoricien est un triplet \((x,y,z)\) d’entiers non nuls tels que \(x^2+y^2=z^2\). On dit que le triplet est primitif si \(x\), \(y\) et \(z\) sont premiers entre eux. En remarquant que l’ensemble des triplets pythagoriciens primitifs est en bijection avec les points rationnels de \(\mathbb S^1 \setminus \{(\pm 1, 0),(0, \pm 1)\}\), illustrez comment une paramétrisation rationnelle du cercle permet de déterminer les triplets pythagoriciens.

Exercice 4. Paramétrisations.

  1. Déterminer un paramétrage rationnel de la sphère de dimension \(2\).

  2. Déterminer un paramétrage rationnel de la cissoïde d’équation \(y^2(1+x) = (1-x)^3\).

  3. La cissoïde peut être décrite géométriquement : on considère le cercle \(\mathcal C\) de centre \(o\) et de rayon \(1\), pour tout \(x\in \left[-1,1\right[\), on se donne un point \(P\) de \(\mathcal C\) d’abscisse \(x\) et on définit \(Q\) comme le point de la droite reliant \(P\) et \((1,0)\) ayant pour abscisse \(-x\). La cissoïde est alors le lieu géométrique décrit par les points~\(Q\). Retrouver l’équation de la cissoïde à partir de sa description géométrique.

Exercice 5. Intersection de courbes algébriques.

Si \(f\) est un polynôme de \(\mathbb{R}[X,Y]\), on note \(Z(f)\) l’ensemble de ses zéros.

  1. Écrire une procédure qui étant donné deux polynômes à coefficients rationnels renvoie la liste des points d’intersection des courbes \(Z(f)\) et \(Z(g)\). Le programme renvera la liste vide si les deux courbes ne s’intersecent pas et on supposera que les points d’intersections sont en nombre fini. N’hésitez pas à travailler dans le corps des nombres algébriques QQbar.

  2. Tester ce programme avec

    \[f(X,Y) = X^4+Y^4-1,\]
    \[g(X,Y) = X^5Y^2 - 4X^3Y ^3 + X^2Y^5 - 1.\]

    Vérifier que le nombre de point a l’air correct avec la fonction implicit_plot.

Exercice 6.

On suppose donnée une courbe paramétrée de façon rationelle:

\[C = \left\{\left(\frac{a(t)}{b(t)},\frac{c(t)}{d(t)}\right)\in\mathbb{R}^2,\:t\in\mathbb{R}\right\}\]
  1. Montrer que le couple \((x,y)\) est sur la courbe \(C\) si et seulement s’il existe \(t\in\mathbb R\) tel que

    \[ b(t)x-a(t) = d(t)y-c(t) = 0.\]
  2. Soit \(C = \left\{\left(\frac{4t(1-t^2)^2}{(1+t^2)^3},\frac{8t^2(1-t^2)}{(1+t^2)^3}\right)\in\mathbb{R}^2,\:t\in\mathbb{R}\right\}\). Utiliser le résultant pour trouver une équation vérifiée par les points de \(C\).

  3. Faire des dessins (cette courbe est appelée quadrifolium).

Exercice 7. Formule de Héron.

On se propose de déterminer la formule donnant l’aire \(S\) d’un triangle \(ABC\) en fonction des longueurs de ses trois côtés \(BC = a\), \(AC=b\) et \(AC = b\). Pour ce faire, on se place dans un repère orthonormé dans lequel \(A = (x,y)\), \(B = (0,0)\) et \(C=(a,0)\) (où \(y\geq 0\)).

On pose \(p = (a-x)^2+y^2-b^2\), \(q = x^2+y^2-c^2\) et \(r = ay-2S\)

  1. Montrer que \(p=q=r=0\)

  2. À l’aide de calculs de résultants bien choisis, retrouver la formule de Héron: $\( S^2 = \frac1{16}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c).\)$

Exercice 8. Nombres algébriques.

On se propose d’étudier dans cet exercice quelques applications du résultant dans la recherche de polynômes annulateurs de nombres algébriques.

  1. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres algébriques sur \(\mathbb Q\) de polynômes minimaux respectifs \(P\) et \(Q\). À l’aide du résultant, construire un polynôme annulateur de \(a + b\).

  2. Dans \(\mathbb C\), soient \(\alpha\) une racine de \(X^3 + X + 1\) et \(\xi\) une racine primitive 8-ème de l’unité. Calculer le polynôme minimal sur \(\mathbb Q\) de \(\alpha + \xi\).

  3. En utilisant la même méthode que dans la question 1, trouver un polynôme annulateur de \(ab\) (on pourra considérer le polynôme \(P(ab/X)X^{deg(P)}\)).

  4. À l’aide des questions précédentes, calculer des polynômes annulateurs de \(\sqrt{2}\times5^{1/4}\) et \(5^{1/7}\times 3^{1/5}+2^{1/3}\) et dire s’ils sont minimaux.

Exercice 9.

Soient \(P\) et \(Q\) des polynômes de \(K[X]\). Exhiber, en utilisant le résultant, un polynôme dont les racines sont les \(P(\alpha)\), pour \(\alpha\) racine de \(Q\).

Exercice 10. Robot.

On considère un robot articulé du plan, dont les bras sont des longueurs fixes donnés par les points A, B, C, D, E et M. Les points A,D et E sont immobiles, de coordonnées respectives \((-2, 0)\), \((2,0)\) et \((-1,4)\). Les bras sont des segments dont les longueurs sont les suivantes. \(BC^2 = 1\), \(CD^2 = 5\), \(AB^2 = 2\), \(CM^2 = 1\) et \(EM^2 = 5\). Les points \(M\), \(B\) et \(C\) sont les trois points mobiles du robot. Dessiner, à l’aide de sage, toutes les configurations possibles du robot.