\[ \def\CC{\bf C} \def\QQ{\bf Q} \def\RR{\bf R} \def\ZZ{\bf Z} \def\NN{\bf N} \]

Produits rapides#

Nicolas M. Thiéry <Nicolas.Thiery at universite-paris-saclay.fr>

Motivation: «Tout se ramène aux produits»#

Inversion de matrices#

Exercice: matrices \(2\times 2\) génériques

Soit \(M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\).

  1. Calculer \(M^{-1}\) en utilisant les cofacteurs.

  2. Calculer \(M^{-1}\) par pivot de Gauß.

  3. Refaire le même calcul avec une matrice par blocs \(M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\)!

Solution

%display latex
a,b,c,d = QQ['a,b,c,d'].fraction_field().gens()
M = matrix([[a,b],[c,d]]); M

La matrice inverse:

M^-1

Par pivot de Gauß:

I2 = matrix(2,2,1); I2
M = M.augment(I2, subdivide=True); M
M[1] = M[1] - c/a *M[0]; M
M[1] = M[1]/M[1,1]; M
M[0] = M[0] - b * M[1]; M
M[0] = M[0]/a; M