Euclide - TP2

Exercice 1 : Fractions continues

Pour une suite de réels (le plus souvent entiers) \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\), on définit la fraction continue \([a_0, a_1, . . . , a_n]\) par

\[ [a_0, a_1, . . . , a_n] = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{\ddots {+\cfrac{1}{a_n}}}}} \]

Soit \(x\in \mathbb R\). Le développement en fractions continue d’un réel \(x\) est défini par récurrence par \(a_n=\lfloor x_n\rfloor\), \(x_0=x\), et tant que \(x_n\) n’est pas entier, \(x_{n+1}=\frac{1}{x_n-a_n}\) (si \(x_n\) est entier, les deux suites s’arrêtent). On démontre que l’on a alors

\[ x = \lim_{n\rightarrow +\infty} [a_0,a_1,\dots,a_n] \]
  1. Soit \(x\in \mathbb R\). a.Vérifier que \(x=[a_0,a_1,\dots,a_p,x_p]\) pour tout \(p\) tel que la suite est définie. b.Vérifier que la suite \((x_n)\) est bien définie pour tout \(n\) si et seulement si \(x\) est irrationnel.

  2. Écrire un programme qui étant donné un nombre (rationnel ou flottant) \(x\), calcule les \(n\) premiers termes de la suite \((a_n)\) ci-dessus, si elle est définie.

  3. Vérifier expérimentalement que \(x=\lim [a_0,\dots,a_n]\) pour une valeur de \(x\) de votre choix.

  4. Donner le développement en fraction continue de \(\sqrt{2}\) et de \(\varphi=\frac{1+\sqrt 5}{2}\). Donner les 20 premiers termes du développement en fraction continue de \(\pi\).

Exercice 2 : Fractions continues et approximations

Une approximation d’un nombre \(x\) par un nombre rationnel \(\frac{p}{q}\) est bonne si l’on atteint une erreur \(\varepsilon = |x -\frac{p}{q}|\) petite avec un dénominateur \(q\) qui n’est pas trop grand. Le développement en fraction continue permet d’obtenir les meilleures approximations d’un nombre \(x\) en général. Pour un nombre irrationnel \(x\), soit \(u_n = [a_0, a_1, . . . , a_n] = \frac{p_n}{q_n}\) son \(n\)ème développement en fractions continues. Soit \(C_n = |x - \frac{p_n}{q_n}|q_n^2\).

  1. Écrire un programme qui, étant donné un développement en fraction continue \([a_0, a_1, . . . , a_n]\), calcule le numérateur et le dénominateur de \(u_n\).

  2. Pour le nombre d’or \(x=\phi= \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) et pour \(x = \pi\), calculer les premières valeurs de \(u_n, p_n, q_n\) et \(C_n\).

  3. Vérifier expérimentalement le théorème d’approximation de Dirichlet : pour un nombre irrationnel \(x\), il existe une infinité de nombres rationnels \(\frac{p}{q}\), tels que

\[ \left| x - \frac{p}{q} \right| \leq \frac{1}{q^2} \]

Exercice 3 : Suites de Sturm

Etant donné un polynôme réel \(P\), on définit sa suite de Sturm \((P_n)_{n\in\mathbb{N}}\) par \(P_0 = P\), \(P_1 = P'\), \(P_i = -P_{i-2} \text{ mod } P_{i-1}\) pour \(i \leq 2\), jusqu’au polynôme \(P_k\) qui est constant (et alors la suite s’arrête).

Pour tout nombre réel \(x\), on note \(V (x)\) le nombre de changements de signe dans la suite des signes de \(P_0(x), P_1(x), ..., P_k(x)\), en supprimant les zéros éventuels. Par exemple, le nombre de changements de signe de la suite de signes \(0, +, -, -, 0, +, +, -\) est égal à 3. On rappelle le théorème suivant :

Théorème. Soit \(P\) un polynôme sans racine multiple, et soient \(a,b\in \mathbb R\) tels que \(P(a)\neq 0\) et \(P(b)\neq 0\). Alors le nombre de racines réelles de \(P\) dans l’intervalle \([a,b]\) est égal à \(V(a)-V(b)\).

  1. Écrire une procédure qui prend en entrée un polynôme rationnel sans racine multiple \(P\) et deux nombres \(a\) et \(b\), et qui renvoie le nombre de racines de \(P\) dans l’intervalle \([a, b]\).

  2. Soit \(P=\sum_{k=0}^n a_k X^k\in \mathbb C[X]\) un polynôme unitaire. Rappeler pourquoi une racine \(z\) de \(P\) vérifie \(|z|\leq \max (1, \sum_{k=0}^{n-1} |a_k|)\).

  3. En utilisant la procédure précédente, et en procédant par dichotomie, écrire une procédure récursive qui prend en entrée un polynôme rationnel \(P\) sans facteur carré (qu’on supposera pour simplifier sans racine rationnelle) et un paramètre d’erreur \(\varepsilon > 0\) rationnel et renvoie un ensemble de couples \((I, m)\) constitués :

    • D’un intervalle \(I\) de longueur strictement inférieure à \(\varepsilon\)

    • D’un entier \(m\), nombre de racines de \(P\) dans \(I\) tels que la réunion des intervalles recouvre toutes les racines de \(P\).

Exercice 4 : Algorithme de Berlekamp

Soit \(k\) un corps fini de cardinal \(q\). Nous allons programmer l’algorithme de Berlekamp pour factoriser un polynôme \(P \in k[X]\) sans facteur carré.

  1. Étant donné un polynôme \(P\in k[X]\), considérons \(\Phi\) l’application linéaire de \(k[X]/(P)\) dans lui même définie par \(\Phi : f \mapsto f^q - f\). Écrire une fonction qui prend en argument un polynôme \(P(X)\in k[X]\) et qui renvoie la matrice de \(\Phi\) dans la base \(\{1, X, X^2, . . .\}\). Que s’attend-t-on à trouver pour la première colonne ? Quelle matrice obtient-on pour le polynôme \(P = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\) de \( \mathbb{Z}/19\mathbb{Z}[X]\) ?

  2. Écrire une fonction qui, étant donné un polynôme \(P\), détermine une base du noyau de cette matrice.

  3. Écrire une fonction qui prend en argument deux polynômes \(P\) et \(Q\), et qui recherche un \(s \in k\) tel que le PGCD de \(P\) et de \(Q - s\) soit non trivial, en renvoyant le diviseur de \(P\) ainsi trouvé, et en renvoyant None s’il n’y en a pas.

  4. Programmer une fonction qui prend un polynôme sans facteur carré à coefficients dans un corps fini et qui donne un diviseur non trivial de ce polynôme (éventuellement le polynôme lui-même, ou plutôt None (c’est a dire rien du tout), s’il est irréductible).

  5. Tester avec \(X^4 + 1\) puis avec \(X^{12} + X^2 + 1 \in \mathbb{F}_p[X]\) pour les nombres premiers \(2 \leq p \leq 19\). On pourra vérifier les résultats avec la méthode .is_ irreducible() ou .factor(). Que se passe-t-il pour \(X^4 + 1\) et \(p = 2\) ?

  6. Programmer la fonction Berlekamp qui prend un polynôme sans facteur carré à coefficients dans un corps fini, et qui renvoie sa décomposition en produit d’irréductibles. Tester avec \(X^{12} + X^2 + 1\) sur \(\mathbb{F}_{19}\).