Cours-TD-TP résultant – Première partie.#
version 22/10/2026 - 10:00 - correciton typo exo 10
Le résultant de deux polynômes de \(A[Y]\) est un élément de \(A\). La non-nullité du résultant caractérise des polynômes premiers entre eux.
Un cas naturel d’utilisation est le cas \(A = K[X_1,\dots, X_n]\), on considère alors l’espace des polynômes \(K[X_1,\dots, X_n,Y]\). Les calculs de résultants permettent alors d’éliminer une variable dans des équations polynomiales. Il y a également des applications à la manipulation des nombres algébriques.
Dans ces notes \(A\) est un anneau intègre commutatif (et la plupart du temps factoriel).
Rappels sur \(K[X_1,\dots, X_n]\) et \(A[X]\)#
Propriétés#
\(K[X_1,\dots,X_n]\) est un anneau intègre, ses inversibles sont les éléments de \(K^*\) (vu comme polynômes constants), son corps des fractions est \(K(X_1,\dots, X_n)\)
\(K[X_1,\dots,X_n]\) est un anneau factoriel, les notions de factorisation, de pgcd, de polynômes premiers entre eux sont donc bien définies
Le lemme de Gauss (si \(F\) divise \(GH\) et \(F\) et \(G\) premiers entre eux alors \(F\) divise \(H\)) est vérifié dans \(K[X_1,\dots,X_n]\)
Le lemme d’Euclide (si \(F\) irréductible divise \(GH\) alors \(F\) divise \(G\) ou \(F\) divise \(H\)) est vérifié dans \(K[X_1,\dots,X_n]\)
Quand \(K[X_1,X_2]\) n’est pas un anneau principal (et donc pas euclidien)
On suppose \(K\) infini, soit \(F\in K[X_1,\dots, X_n]\). Alors \(F\) est le polynôme nul si et seulement si la fonction polynomiale associée est nulle.
Questions sur les propriétés précédentes 1#
Ces propriétés sont des propriétés usuelles, mais esssayez de faire les démonstrations dans regarder une référence… Ne passez pas plus que quelques minutes par question pour avoir le temps de passer du temps sur le résultant.
Démontrer l’intégrité et la caractérisation des inversibles
Revoir la définition d’anneau factoriel. Comment est défini un pgcd dans ce contexte ?
Démontrer ce résultat (penser factorisation).
Si vous avez utilisé une référence pour la preuve de résultat précédent, essayez de faire cette preuve.
Donner un idéal non principal de \(K[X_1,X_2]\).
Si vous n’avez pas passé trop de temps que les questions précédentes, essayez de démontrer ce résultat.
Propriétés#
Soit \(K\) le corps des fractions de \(A\). Si \(A\) est factoriel alors \(A[X]\) est également factoriel. Les éléments irréductibles de \(A[X]\) sont les irréductibles de \(A\) et les irréductibles de \(K [X]\) de coefficients premiers entre eux. Ainsi tout élément \(F\in A[X]\) s’écrit sous la forme \( F = u \prod a_i^{m_i} \prod P_j^{n_j} \) où \(u\) est un inversible de \(A\), les \(a_i\) sont des irréductibles de \(A\) et les \(P_j\) des irréductibles de \(K[X]\) de coefficients premiers entre eux. Enfin, si \(P\) et \(Q\) ont un facteur commun dans \(K[X]\) ils ont également un facteur commun dans \(A[X]\).
Questions 2#
Que donne la première partie de l’énoncé dans le cas \(A = \mathbb Z\) ?
Obtient-on la même factorisation si on voit un polynôme dans \(K[X,Y]\) et dans \(K[X][Y]\) ?
Un peu de sage pour préparer la suite…#
Exercice 3#
À l’aide de sage, tracer la courbe définie par l’équation \(4x^3-4x^2y+9xy^2-9y^3-36x+36y-40=0\) puis la courbe paramétrée définie par \(x(t)=\cos(3t)\) et \(y(t)=\sin(2t)\) (c’est une courbe de Lissajous). Indication. On pourra utiliser implicit_plot et parametric_plot.
En sage, le corps de nombres algébriques complexes est noté QQbar, celui des nombres algébriques réels AA. Soit \(P=2X^7 - 5X^6 + 2X^5 + 4X^4 - 8X^3 + 11X^2 - 8X + 2\in\mathbb Z[X]\). À l’aide de roots, déterminer les racines de \(P\) dans \(\mathbb Z\), puis \(\mathbb Q\), puis dans les algébriques réels, puis dans les algébriques complexes et enfin dans \(\mathbb C\). Factoriser \(P\) dans \(\mathbb Z[X]\) et commenter.
Résultant dans \(K[Y]\)#
Soit \(K\) un corps. On note \(K_d[Y]\) le sous-espace de \(K[Y]\) des polynômes de degré au plus \(d\). Soit \(P\in K_p[Y]\) et \(Q\in K_q[Y]\) deux polynômes, on suppose \(p\geq 1\) et \(q\geq 1\).
On considère l’applicaiton linéaire \(\varphi : (U, V) \mapsto UP + VQ\) de \(K_{q-1}[Y] \times K_{p-1}[Y]\) dans \(K_{p+q-1}[Y]\). On munit l’espace de départ de la base \( (Y^{q-1}, 0), \dots, (1, 0), (0, Y^{p-1}), \dots, (0,1)\) et l’espace d’arrivée de la base \(Y^{p+q-1},\dots,1\). On écrit \(P = a_0 + \ldots + a_p Y^p\) et \(Q = b_0 + \ldots + b_q Y^q\)
Question 4#
Déterminer (sans trop regarder la suite du texte (sauf pour vérifier)) la matrice de \(\varphi\) dans ces bases.
Définition#
Le résultant \(\mathrm{Res}_{p,q}(P, Q)\) est le déterminant de \(\varphi\) dans le bases précédentes.
La matrice carrée associée de taille \(p+q\) est appelée matrice de Sylvester et on a \(Syl_{p,q}(P,Q)=\left(\begin{array}{ccccccc} a_p & & & & b_q & & \\ \vdots& \ddots & & & \vdots & \ddots & \\ \vdots & &\ddots & & \vdots & & b_q \\ a_0& & & a_p &\vdots & & \vdots\\ & \ddots & &\vdots & b_0 & & \vdots\\ & & \ddots &\vdots & & \ddots & \vdots\\ & & & a_0 & & &b_0 \end{array}\right) \)
La matrice de Sylvester contient \(q\) colonnes de coefficients \((a_i)\) suivies de \(p\) colonnes de coefficients \((b_j)\).
Lemme 1#
Avec les notations précédentes, si \(a_p=b_q=0\) alors \(\mathrm{Res}_{p,q}(P, Q)=0\). En outre, si \(b_q = 0\) et \(q\geq 2\), on a \(\mathrm{Res}_{p,q}(P,Q) = a_p\mathrm{Res}_{p,q-1}(P,Q)\). Enfin \(\mathrm{Res}(Q,P) = (-1)^{pq}\mathrm{Res}(P,Q)\).
Question 5#
Démontrer le lemme.
Lemme 2#
On suppose maintenant que \(a_p\neq 0\) ou \(b_q\neq 0\) et que \(P\) et \(Q\) sont non constants. Le résultant \(\mathrm{Res}_{p,q}(P, Q)\) s’annule si et seulement si \(P\) et \(Q\) ont un facteur commun.
Question#
Démontrer le lemme dans le cas \(a_p\neq 0\).
Indication. Penser à utiliser les propriétés (injectivité ou pas, surjectivité) de \(\varphi\).
Corollaire 3#
Si \(P\in K_p[Y]\) et \(Q\in K_q[Y]\) (\(p\geq 1\) et \(q\geq1\)) ont une racine commune alors \(\mathrm{Res}_{p,q}(P, Q) = 0\).
Remarque#
Le corollaire ne fait pas d’hypothèse sur \(a_p\) ou \(b_q\). Vérifiez que vous savez bien le démontrer…
Définition#
Pour \(P\) et \(Q\) non constants, on pose \(\mathrm{Res}(P,Q) = \mathrm{Res}_{\deg(P),\deg(Q)}(P,Q)\). C’est le résultant de \(P\) et \(Q\).
Exemple-exercice 6 (sans sage)#
Soit \(P = aY^2+bY+c\) (avec \(a\neq 0\) et \(k\) de caractéristique \(\neq 2\)). Déterminer la matrice de Sylvester de \(P\) et \(P'\) et calculer le résultant. Commenter.
Remarque#
Quelques cas particuliers avec des polynômes constants (non traités par ce cours mais que vous pourriez rencontrer). Si \(Q=b_0\) est constant et \(\deg(P)=p>0\), on pose \(\mathrm{Res}(P,Q)=b_0^p\) (c’est compatible avec la généralisation au cas \(q=0\) de la définition). Si \(P\) et \(Q\) sont constants non nuls, on pose \(\mathrm{Res}(P,Q)=1\). Si \(P\) est nul, on pose \(\mathrm{Res}(P,Q)=0\).
Résultant dans \(A[Y]\)#
On peut définir une théorie du résultant dans \(A[Y]\) en calculant des déterminants comme dans le paragraphe précédent. Soient \(P = a_0 + \ldots + a_p Y^p \in A_p[Y]\) et \(Q = b_0 + \ldots + b_q Y^q \in A_q[Y]\) deux polynômes (avec toujours \(p\geq 1\) et \(q\geq 1\)), on pose \(\mathrm{Res}_{p,q}(P,Q) = \det \left(\begin{array}{ccccccc} a_p & & & & b_q & & \\ \vdots& \ddots & & & \vdots & \ddots & \\ \vdots & &\ddots & & \vdots & & b_q \\ a_0& & & a_p &\vdots & & \vdots\\ & \ddots & &\vdots & b_0 & & \vdots\\ & & \ddots &\vdots & & \ddots & \vdots\\ & & & a_0 & & &b_0 \end{array}\right) \)
Le lemme 1 reste valable.
Exemple-exercice 7 (sans sage).#
Soit \(P = X^2+Y^2-1\) et \(Q= X-Y\). Déterminer la matrice de Sylvester de \(P\) et \(Q\) et calculer le résultant.
Proposition 4 [Lemme de spécialisation]#
Soient \(P\in A_p[Y]\) et \(Q\in A_q[Y]\). Soit \(\phi : A\rightarrow B\) un morphisme d’anneaux. Alors \(\phi\) induit un morphisme de \(A [Y]\) dans \(B [Y]\) et \( \mathrm{Res}_{p,q} (\phi (P), \phi (Q) ) = \phi (\mathrm{Res}_{p,q} (P, Q)). \)
Cette proposition a l’air anodine mais elle sera fondamentale dans la suite. Prenez bien le temps de comprendre son énoncé….
Exercice 8 (avec sage).#
Définir \(A=\mathbb Q[a]\) (par exemple en posant A.<a>=QQ[ ]) puis \(B=A[X]\). Soit \(P=X^2-2X+1\) et \(Q = X^2-a^2\). En utilisant la méthode resultant des anneaux de polynômes, calculer le résultant de \(P\) et \(Q\). Pour quelles valeurs de \(a\) a-t-on \(\mathrm{Res}(P,Q)=0\) ? Commenter.
Exercice 9 (avec sage).#
Le but de cet exercice est d’illustrer le parent du résultant en sage (attention, ce n’est pas forcément ce que vous imaginez…)
Définir \(A_1=\mathbb Q[X_1]\) puis \(B_1 = A_1[Y_1]\) en sage. Soient \(P_1 = X_1^2+Y_1^2-1\) et \(Q_1=X_1-Y_1\). Calculer le résultant \(R_1\) de \(P_1\) et \(Q_1\) puis déterminer le parent de \(R_1\) (à l’aide de R1.parent()).
Définir \(B_2 = \mathbb Q[X_2,Y_2]\) en sage. Soient \(P_2 = X_2^2+Y_2^2-1\) et \(Q_2=X_2-Y_2\). Calculer le résultant \(R_2\) en \(Y_2\) de \(P_2\) et \(Q_2\) puis déterminer le parent de \(R_2\). Commenter.
Appliquer la méthode univariate_polynomial à \(R_2\) et appeler \(R_3\) le polynôme obtenu. Que vaut \(R_3\) et quel est son parent ? Commenter.
Tester R4 = R2.specialization({Y2:0}). Que vaut \(R_4\) et quel est son parent ? Commenter.
Exemple-exercice 10 (sans sage).#
On se place dans \(\mathbb Z[Y]\) et on considère \(P=-Y+1\) et \(Q=3Y^2+Y\).
Déterminer la matrice de Sylvester (1,2) de \(P\) et \(Q\) puis le résultant de \(P\) et \(Q\). On se place dans \(\mathbb Z/3\mathbb Z [Y]\) et on note \(\overline P\) et \(\overline Q\) les images de polynômes \(P\) et \(Q\).
Déterminer la matrice de Sylvester (1,2) de \(\overline{P}\) et \(\overline{Q}\) puis \(\mathrm{Res}_{1,2}(\overline{P}, \overline{Q})\). Qu’en pensez vous en lien avec le lemme de spécialisation ?
Calculer \(\mathrm{Res}(\overline{P}, \overline{Q})\). Commenter.
Remarque#
Dans l’énoncé du lemme de spécialisation, il est important de considérer \(\mathrm{Res}_{p,q}(P,Q)\) et pas \(\mathrm{Res}(P,Q)\) car, si \(\phi\) n’est pas injective, le degré de \(\phi(P)\) ou \(\phi(Q)\) peut être inférieur au degré de \(P\) ou \(Q\). Voir l’exemple précédent.
On retrouve la caractérisation de l’existence de facteur commun à l’aide du résultant vu pour \(K[Y]\).
Proposition 5#
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(A[Y]\) non constants avec \(A\) factoriel. Alors \(P\) et \(Q\) ont un facteur commun de degré \(\geq 1\) si et seulement si \(\mathrm{Res} (P, Q) = 0\).
Question 11#
Démontrer ce résultat en utilisant le résultat pour \(A\) un corps et les rappels la factorisation dans \(A[Y]\). La preuve utilise aussi le lemme de spécialisation (vérifiez que vous avez bien identifié cette utilisation).
Cas \(A = K [X_1,\dots, X_n]\)#
On applique le lemme de spécialisation dans le cas \(A = K[X_1,\dots, X_n]\) et \(\phi_x : K[X_1,\dots, X_n]\to K\) est le morphisme d’évaluation en \(x\in K^n\), c’est à dire \(\phi_x(P) = P(x)\) pour tout \(P\in K[X_1,\dots, X_n]\) (vérifiez que c’est bien clair pour vous que c’est un morphisme d’anneaux). On obtient alors le résultat suivant
Corollaire 6#
Soit \(P\) et \(Q\) des polynômes dans \(K[X_1, \dots, X_n, Y]\). On écrit \(P = a_0 + \ldots + a_p Y^p\) avec \(a_i\in K[X_1,\dots, X_n]\) et \(Q =b_0 + \ldots + b_q Y^q\) avec \(b_j\in K[X_1,\dots, X_n]\) avec \(p,q\geq 1\). Soit \(x=(x_1, \dots, x_n) \in K^n\). On note \(P_x =a_0(x) + \ldots + a_p(x) Y^p \) et \(Q_x = b_0(x) + \ldots + b_q(x) Y^q\) les polynômes de \(K[Y]\) obtenus par évaluation en \(x\). Alors \(\mathrm{Res}_{p,q}(P,Q) (x) = \mathrm{Res}_{p,q}(P_x, Q_x)\).
Lorsque le polynômes considérés sont dans \(K[X_1, \dots, X_n, Y]\), on a parfois besoin de spécifier la variable polynomiale utilisée pour calculer le résultant. On note alors \(\mathrm{Res}_Y(P,Q)\) le résultant de \(P\) et \(Q\) par rapport à la variable \(Y\). En sage, le résultant en la variable \(Y\) des polynômes \(P\) et \(Q\) est donné par P.resultant(Q, Y).
Corollaire 7#
Soient \(P,Q\in K[X_1,\dots,X_n,Y]\) non constants en \(Y\) et \((x_1,\dots,x_n,y)\in K^{n+1}\). On note \(x=(x_1,\dots,x_n)\). Alors \( \begin{cases} P(x, y) = 0 \\ Q(x, y) = 0 \end{cases} \implies \mathrm{Res}_Y(P,Q)(x) = 0. \)
Question 12#
Démontrer ce corollaire.
Élimination#
On s’intéresse au système polynomial \( \begin{cases} P_1(X_1,\dots,X_n) = 0 \\ \hskip1.5cm \vdots \\ P_s(X_1,\dots,X_n) = 0 \end{cases} \) et à son ensemble de solution \(Z(P_1, \dots, P_s)\).
Un premier exemple élémentaire est celui d’un système linéaire. Dans ce cas, on peut résoudre à l’aide de l’élimination de Gauss : un peu plus précisément, on se ramène à un système triangulaire en « éliminant » les variables puis on « remonte » pour obtenir un paramétrage du sous-espace affine des solutions.
Dans le cadre polynomial général, on retrouve les mêmes étapes :
élimination de variables
remontée des solutions.
Le résultant peut permettre d’éliminer des variables.
Exemple#
On reprend l’exemple \(P = X^2+Y^2-1\) et \(Q = X-Y\)
A.<X,Y> = QQ[]
P = X**2+Y**2 -1
Q = X-Y
G1 = implicit_plot(P,(X,-2,2),(Y,-2,2))
G2 = implicit_plot(Q,(X,-2,2),(Y,-2,2), color = 'purple')
G = G1+G2
G.show(axes = True)
R = P.resultant(Q,Y);R
2*X^2 - 1
Les racines du résultant ( \(\pm 1/\sqrt{2}\)) correspondent aux abscisses des points d’intersection entre \(Z(P)\) et \(Z(Q)\). Attention : en général on a seulement une inclusion.
G3 = implicit_plot(X - 1/2**(1/2),(X,-2,2),(Y,-2,2), color = 'green')
G4 = implicit_plot(X + 1/2**(1/2),(X,-2,2),(Y,-2,2), color = 'green')
G = G1+G2+G3+G4
G.show(axes=True)
Exemple#
On cherche les points d’intersection des zéros de \(P = X^2 -Y^2+2X-2\) et \(Q = X^4+Y^4 -2\) dans \(\mathbb R^2\).
A.<X,Y> = QQbar[]
P = X**2 - Y**2 +2*X -2
Q = X**4+Y**4 - 2
G1 = implicit_plot(P,(X,-2,2),(Y,-2,2))
G2 = implicit_plot(Q,(X,-2,2),(Y,-2,2), color = 'purple')
G = G1+G2
G.show(axes = True)
On commence par éliminer la variable \(Y\)
R = P.resultant(Q,Y)
R.factor()
(4) * (X - 1)^2 * (X - 0.2599210498948732?)^2 * (X + 1.629960524947437? - 1.091123635971722?*I)^2 * (X + 1.629960524947437? + 1.091123635971722?*I)^2
On a deux racines doubles réelles : \(1\) et une autre racine \(r\). Les abscisses possibles des points d’intersection sont données par ces racines.
On remonte. On commence par la racine \(X= 1\)
P.subs(X = 1)
-Y^2 + 1
Q.subs(X = 1)
Y^4 - 1
On obtient \((1,-1)\) et \((1,1)\) comme points d’intersection.
On passe maintenant à la racine \(X = r\)
R1 = R.specialization({Y:1})
r = R1.roots()[0][0];r
0.2599210498948732?
P.specialization({X:r}).roots()
[(-1.188528059421317?*I, 1), (1.188528059421317?*I, 1)]
Il n’y a pas de relevé réel. Les seuls points d’intersection dans \(\mathbb R^2\) sont donc \((1,-1)\) et \((1,1)\).
Interprétation géométrique#
Soit \(\pi : K^{n+1}\to K^n\) la projection définie par \(\pi(x_1,\dots,x_n,y) = (x_1,\dots,x_n)\).
Soit \(P\) et \(Q\) deux polynômes dans \(K[X_1, \dots, X_n, Y]\) non constants en \(Y\). On a \(\pi(Z(P) \cap Z(Q)) \subset Z(\mathrm{Res}_Y(P, Q))\).
Autrement dit, si \(P(x,y)=Q(x,y) = 0\) avec \(x\in K^n\) et \(y\in K\) alors \(\mathrm{Res}_Y(P,Q)(x) = 0\). C’est exactement le corollaire 7 ! L’inclusion du lemme est stricte en général.
Exercice 13 (avec sage)#
Vous pouvez bien sur vous inspirer des exemples ci-dessus mais ne recopiez pas le code en changeant juste le nom des polynômes…
À l’aide de sage, définir \(P= X^2Y^2+X+3Y+1\) et \(Q = XY+1\) dans \(\mathbb Q[X,Y]\).
Calculer leur résultant en \(Y\).
En déduire les points d’interstions des zéros de \(P\) et \(Q\) (dans \(\mathbb C^2\)).
Faire un dessin.
Mêmes questions avec \(P= X^2Y^2+X-Y+1\) et \(Q = XY+1\) dans \(\mathbb Q[X,Y]\).
Commenter.
Exercice 14 (avec sage). Fenêtre de Viviani.#
La fenêtre de Viviani est l’intersection de la sphère d’équation \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) et du cylindre d’équation \(x^2 - x + y^2 = 0\).
Donner les caractéristiques géométriques du cylindre d’équation \(x^2 - x + y^2 = 0\).
Faire des dessins avec sage.
En procédant par élimination de variables avec sage et pour chaque plan de coordoonées, déterminer une équation vérifiée par la projection de la fenêtre de Viviani sur ce plan. Dessiner les courbes associées. Identifier la courbe obtenue lorsque c’est possible.
Exercice 15 (avec sage).#
Soit \(f(x, y, z) = x^2 - y^2 + z - 1\). À l’aide du résultant, résoudre le système \(f(x, y, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y) = 0\). Vérifier les résultat à l’aide de solve. N’hésitez pas à travailler dans le corps des nombres algébriques QQbar. N’oubliez pas que le problème est très symétrique.
Dans certains cas, on peut garantir l’existence d’un relevé pour une solution partielle.
Théorème#
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(K[X_1,\dots X_n,,Y]\) non constants en \(Y\) où \(K\) est algébriquement clos. Soient \(a_p\) et \(b_q\) les coefficients dominants de \(P\) et \(Q\) vus comme polynômes en \(Y\). Soit \(x\) tel que \(\mathrm{Res}_Y(P, Q)(x)=0\) et \((a_p(x),b_q(x))\neq (0,0)\). Alors, il existe \(y\in K\) tel que \(P(x,y)=Q(x,y)=0\).
Question 16 (plus difficile et non prioritaire)#
Démontrer ce théorème.
Théorème (théorème de Bezout version allégée - pour la culture)#
Soient \(P,Q\in \mathbb C [X,Y]\) deux polynômes non constant de degré \(p\) et \(q\) et sans facteur commun. Alors le nombre de points d’intersection de \(Z(P)\) et \(Z(Q)\) est borné par \(pq\).
Exercice 17 (bonus)#
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes dans \(\mathbb C[X,Y]\) sans facteur commun. On veut montrer que \(Z(P,Q)\) est fini. Soit \(R = \mathrm{Res}_Y(P,Q)\).
Montrer que \(R\neq 0\).
Soit \(x\) une racine de \(R\), montrer que \(P(x,Y)\) et \(Q(x,Y)\) sont non nuls.
Conclure.
Exercice 18 (avec sage). Intersection de courbes algébriques.#
Écrire une procédure qui étant donné deux polynômes \(P\) et \(Q\) à coefficients rationnels renvoie la liste des points d’intersection des courbes \(Z(P)\) et \(Z(Q)\). Le programme renvera la liste vide si les deux courbes ne s’intersectent pas et on supposera que les points d’intersections sont en nombre fini. N’hésitez pas à travailler dans le corps des nombres algébriques QQbar et à commencer par traiter un exemple avant de vous lancer dans le code général.
Tester ce programme avec \(f(X,Y) = X^4+Y^4-1\) et \(g(X,Y) = X^5Y^2 - 4X^3Y ^3 + X^2Y^5 - 1.\)
Vérifier que le nombre de point a l’air correct avec la fonction implicit_plot.
Résultant et paramétrage#
Exercice 19 (avec sage). Paramétrage du cercle unité.#
On se propose de retrouver la paramétrisation classique du cercle unité privé de \((-1,0)\).
Donner une équation implicite de la droite de pente \(t\) passant par le point \((-1,0)\).
Expliquer pourquoi \((x,y)\) est un point du cercle unité si et seulement s’il existe \(t\in\mathbb R\) tel que \((x,y,t)\) soit solution du système
\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 - 1 = 0\\ y - t(x+1) = 0. \end{array}\right.\end{split}\]À l’aide du résultant, retrouver une paramétrisation rationnelle du cercle.
Un triplet pythagoricien est un triplet \((x,y,z)\) d’entiers non nuls tels que \(x^2+y^2=z^2\). On dit que le triplet est primitif si \(x\), \(y\) et \(z\) sont premiers entre eux. En remarquant que l’ensemble des triplets pythagoriciens primitifs est en bijection avec les points rationnels de \(\mathbb S^1 \setminus \{(\pm 1, 0),(0, \pm 1)\}\), illustrez comment une paramétrisation rationnelle du cercle permet de déterminer les triplets pythagoriciens.
Exercice 20 (avec sage). Paramétrisations. (Bonus)#
Déterminer un paramétrage rationnel de la sphère de dimension \(2\).
Déterminer un paramétrage rationnel de la cissoïde d’équation \(y^2(1+x) = (1-x)^3\).
La cissoïde peut être décrite géométriquement : on considère le cercle \(\mathcal C\) de centre \(o\) et de rayon \(1\), pour tout \(x\in \left[-1,1\right[\), on se donne un point \(P\) de \(\mathcal C\) d’abscisse \(x\) et on définit \(Q\) comme le point de la droite reliant \(P\) et \((1,0)\) ayant pour abscisse \(-x\). La cissoïde est alors le lieu géométrique décrit par les points \(Q\). Retrouver l’équation de la cissoïde à partir de sa description géométrique.
Exercice 21 (avec sage).#
On suppose donnée une courbe paramétrée de façon rationelle: \(C = \left\{\left(\frac{a(t)}{b(t)},\frac{c(t)}{d(t)}\right)\in\mathbb{R}^2,\:t\in\mathbb{R}\right\}\)
Montrer que le couple \((x,y)\) est sur la courbe \(C\) si et seulement s’il existe \(t\in\mathbb R\) tel que \( b(t)x-a(t) = d(t)y-c(t) = 0.\)
Soit \(C = \left\{\left(\frac{4t(1-t^2)^2}{(1+t^2)^3},\frac{8t^2(1-t^2)}{(1+t^2)^3}\right)\in\mathbb{R}^2,\:t\in\mathbb{R}\right\}\). Utiliser le résultant pour trouver une équation vérifiée par les points de \(C\).
Faire des dessins (cette courbe est appelée quadrifolium).